一、
昨天回顾Caoz老师的年中福利课《底层逻辑》，里面提到一个经典的选择问题：
“三选一，有一个有大奖的格子，你先选一个，主持人排除掉一个，现在问你要不要换。
这个问题网上说很多名校学生答不对，胡扯，能进名校且学过概率的应该绝大部分都能做对。其实是非常简单的概率问题。”
我看第一眼的直觉，是换不换都行，干脆就不换。
原因是，3个选一个，正确的概率是1/3，这个大家都懂。
主持人会排除掉一个错误答案后，剩下两个箱子，一个是自己原来选择的那一个，另一个是未选择的一个箱子。
理论上，第二次选择，其实就是二选一的问题，50%的概率，的确换不换都行，但是换了错误的还容易让自己后悔，那不如不换。
可是Caoz说，不对，当然要换，因为换了之后，正确的概率从原来1/3的概率提升到了2/3，而不是各50%的机会。
可是这。。。不对吧？
我还专门去查了一下，这道题目，源自三门问题：
三门问题（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目LetsMakeaDeal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（MontyHall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。百度百科
(美国电视节目let’smekeadeal照片)
虽然该问题的答案在概率上非常简单，但十分违反直觉。
二、
可是为什么不是1/2呢？怎么理解2/3呢？我想了一下，没太想通。
后来网上查了一些资料，才发现，原来是这样。
第一种理解方式（纯概率角度，不太形象）
第一次选择，选中的那个箱子，假设叫做A，获奖概率是1/3，未选中的那2个（假设叫做B和C），加起来获奖概率是2/3。到这里相信大家都没有异议。
关键是第二次选择，第二次选择时，未选中的那2个（B和C），视作一组。
主持人排除错误答案后，未选中的那一个剩余的箱子（B或者C），其成功率从原来的1/3变成了2/3。
原因是这组整体的成功率不变，但剩余那个箱子的成功率，从1/3变成了2/3（用3/2-0=2/3）
那么第二次选择，成功率为什么不是1/2呢？原因是，大奖在箱子里面没有动过，所以原来的概率仍然有效。
如果主持人排除一个错误答案之后，让大奖再从剩余的两个箱子之中随机重新放置，这时，第二次选择的概率，才是1/2.
或者当主持人排除的，是任意一个箱子（不一定是错误答案，而是随机一个），这时候，你换不换不重要，因为换不换，都还是1/3的概率。
区别在于，题目里，主持人排除了一个“错误”的选项。
这样说，大家可能看得似懂非懂。
我当时看完，也是有点云里雾里，好像懂了，又好像没懂。
三、
那么我们不妨用第二种更为形象一点的方式来解释。
如果Julia茱莉娅和我玩游戏，有三个盒子，一个盒子里面有糖，两个盒子里面没有糖。Julia让我选一个放进自己的书包。剩下两个，放进她的书包。
放好后，Julia说，你要不要和我换书包？
那肯定要换，毕竟两个盒子比一个盒子，更有可能开出糖，对吧。
接下来，Julia和我玩第二个游戏，同样三个盒子里面选一个有糖的盒子。
同样让我先选一个盒子，装进自己的背包，剩余两个盒子装进她的背包。
这一次，她会在她的背包里，会开启一个必定没有糖的盒子。
然后，她的包里剩下一个盒子，你的包里也有一个盒子，然后问你，要不要换？
有人这时候就犹豫了。
该不该换呢？剩下2个选一个，不就是一半一半吗？
实际上，你会发现，这两个游戏都是一样的。只不过增加了一个对方开启盒子的过程。
这就像是干扰项，会迷惑我们的心神，实际上，这个动作并不影响概率的分布。仍然是拿走Julia包更为划算，更可能开出糖果（2/3）。
到这里，相信有的人，可能还是有点迷迷糊糊的，但是没关系，你也可以自己去做这个游戏。
比如，可以写一个编程，做或者1万次的测试（直接搜索三门问题，有现成的代码），就可以看得到结果是什么。
又比如说，你也可以拿出来三张牌，一张A代表中奖，两张其他牌代表空。自己先抽取一张放一边，接着模拟主持人的行为，抽取另一张牌，如果不是A，就看看A在你第一次抽取的牌里面，还是在剩下的牌里面。（如果第二次抽中的是A，就重新开）
重复20次记录两边的分布，就可以大概看出来概率分布并不是各50%，而是换选项之后，概率更高，在2/3上下。
四、
是不是很神奇？
这个问题，如果要自己玩扑克，或者写程序，模拟游戏去验证，大概要花不少时间才能搞清楚哪种选法最正确，但是如果直接用概率计算的方式，就可以一分钟之内算出正确答案。
概率就是这么神奇，当然，这是个很简单的概率题，更深的，还有贝叶斯定理，还有概率论，等等，概率是一门学科，拥有庞大的枝叶和体系，和非常深度的思考计算。
对于大众来说，不一定要去研究那些概率相关的深奥复杂的理论，思想和算法。
但至少，懂得了基本的原理，你会少踩很多坑，减少很多直觉的错误，从而更清醒更正确地做出选择。
比如，赌博没有意义，赌场都是概率的高手，就算不说出千，抽水等等，就单从概率上来说，普通人去赌博，长此以往，都必将成为输家。
比如，彩票对于发财毫无意义，极低的概率下，玩再多，也只是给相关部门创收而已。
比如，飞机失事很可怕，但这是极低的概率，总体还是安全的出行方式，至少比开车安全得多，就不会盲目拒绝飞机了。
你会知道，黑天鹅事件其实也并非完全没有对策，大资金的话，可以去做风险对冲，化解概率风险。
而人生的话，其中的一些低概率事件，比如生大病，失业，以及其他不可抗拒的因素，可以通过保险等手段去化解，而不至于因病返贫，因失业跳楼等。
除了这些基本的应用，还有一些关于概率的叠加，基础概率思维，概率的独立性等等，限于篇幅，就下次再分享啦。
好了，今天先聊到这里，下次再见~
图片：除了图片下有标注的，都来自stablediffusion
觉悟之坡，笔耕十年，与你分享读书的思考和智慧，还有一些好用好玩的东西。
